اندازه گیری کیفیت توان تحت شرایط غیر سینوسی

Magnago Fernando, Reineri Claudio و Lovera Santiago

Universidad Nacional de Río Cuarto

Argentina

1. مقدمه

از سال 1980 میلادی علاقه به بررسی مسائل دستگاه های غیر خطی و تاثیر آن ها بر روی سیستم ها به صورت قابل ملاحظه ای افزایش یافته است. این موضوع به علت توسعه ی تجهیزات نیمه رسانای قدرت و در نتیجه ی آن کانورتر هایی که غیر خطی بودن را در سیگنال های قدرت الکتریکی به طور قابل ملاحظه ای افزایش می دهند است. (Arrillaga et al., 1995)

موسسات تحقیقاتی متعددی تخمین زده اند که هفتاد درصد از تمام مصرف توان الکتریکی از یک دستگاه نیمه هادی حداقل در مرحله ی استفاده توسط مصرف کننده عبور می کند. رشد استفاده از تجهیزات الکترونیکی ماهیت سینوسی سیگنال های الکتریکی را مورد تاثیر قرار داده است. این گونه تجهیزات اعوجاج در شکل موج جریان و در نتیجه ی آن اعوجاج در شکل موج ولتاژ را افزایش می دهد که منجر به اضافه ولتاژ، پدیده ی رزونانس در یک سیستم، افزایش تلفات و کاهش بازدهی تجهیزات می گردد. (Dugan et al., 1996)

به طور کلی، کمیت های استفاده شده در سیستم قدرت الکتریکی در شرایط سینوسی تعریف شده اند. تحت شرایط غیر سینوسی برخی از کمیت ها می توانند منجر به قضاوت های نادرست شوند و برخی دیگر می توانند بی معنی گردند. توان ظاهری (S) و توان راکتیو (Q) دو کمیتی هستند که بسیار تحت تاثیر قرار می گیرند. (Svensson, 1999). تعریف های سنتی توان به خوبی شناخته شده و به شدت مورد استفاده است. هر چند که فقط توان اکتیو معنی فیزیکی مشخصی حتی برای شرایط غیر سینوسی دارد. توان اکتیو مقدار متوسط توان لحظه ای را در طول یک پریود نشان می دهد. از طرف دیگر فرمول بندی ریاضی توان راکتیو ممکن است منجر به قضاوت نادرست به خصوص زمانی که تحلیل به سیستم های سه فاز گسترش می یابد شود. (Filipski, 1984; Emanuel, 1999)

اگرچه تعریف های توان های ظاهری، اکتیو و راکتیو برای سیستم های سینوسی از نظر جهانی مورد پذیرش است از قرن 21 ام محققین کشف کرده اند که اختلاف زاویه مابین جریان و ولتاژ منجر به نوسان توان بین منبع و بار می گردد. تمام این تلاش های تحقیقاتی اهمیت ضریب قدرت و توان راکتیو را در دیسپاچ اقتصادی بهینه برجسته می کند. یکی از پیشنهاد های اولیه شامل تجزیه کردن توان به عبارات توان اکتیو، توان راکتیو و اعوجاج توان بود که بسیار هم مورد پذیرش بود. در دهه ی 80 بحث درباره ی تعاریف اشاره شده در بالا افزایش یافت زیرا که استفاده از بارهای غیر خطی به طور قابل ملاحظه ای افزایش یافته بود. اگرچه بسیاری از محققین اهمیت بهره برداری از شرایط غیر سینوسی را برجسته ساخته بودند تا به امروز نیز بسیار سخت است که تعریف توان واحدی را برای شبکه های الکتریکی تحت شرایط اعوجاجی بیان کنیم. عدم وجود تعریف واحد سیستم های اندازه گیری تجاری را وادار می سازد که از تعاریف مختلفی استفاده نمایند که نتایج مختلفی تولید می کند و در تبع آن تاثیرات اقتصادی مشخصی را تولید می نماید. (Ghosh  &  Durante,  1999;  Cataliotti,  2008). بنابراین سیستم های اندازه گیری ممکن است نتایج مختلفی را نه تنها به علت تفاوت در اصول عملکرد بلکه به علت استفاده از تعاریف کمی مختلف ارائه کنند.

این فصل یک مرور عمیق بر تعاریف توان ظاهری، توان راکتیو و توان اکتیو ارائه می دهد. در ابتدا تعاریف متداول استفاده شده برای توان ظاهری ارائه می گردد. پس از آن تعاریف ضریب قدرت و توان راکتیو مورد مطالعه قرار می گیرد. این تعاریف برای سیستم های تک فاز و سه فاز ارائه شده و در شرایط مختلف از قبیل سینوسی، غیر سینوسی، تک فاز و سیستم سه فاز متعادل یا نامتعادل مورد ارزیابی قرار می گیرند. سپس روشی برای اندازه گیری توان و شاخص های کیفیت توان بر اساس تئوری توان لحظه ای در شرایط غیر سینوسی ارائه می گردد. در نهایت مهم ترین نتایج مورد بحث قرار می گیرند.

2. تعریف توان الکتریکی تحت شرایط سینوسی

تعریف سنتی توان لحظه ای تحت شرایط سینوسی خالص عبارت است از:

(1)

که در آن p(t)، v(t) و i(t) به ترتیب عبارت اند از توان لحظه ای، ولتاژ لحظه ای و جریان لحظه ای.

با در نظر گرفتن سیگنال ولتاژ و جریان سینوسی که با معادلات v_((t) )=√2*V*sin⁡(ωt) و i(t)=√2*sin⁡(ωt-φ) به ترتیب ارائه می شوند، Eq. (1) شکل زیر را می گیرد:

(2)
(3)

مقدار متوسط p_((t)) به عنوان اکتیو P شناخته شده و می تواند به صورت زیر نوشته شود:

(4)

که در آن V  و I به  ترتیب میانگین مجذور مربعات (r.m.s) مقدار سیگنال های ولتاژ و جریان هستند و  اختلاف فاز بین v_((t)) و i_((t) ) است.

به طور مشابه توان راکتیو Q به صورت زیر تعریف می شود:

(5)

جمع برداری P و Q به عنوان توان ظاهری S شناخته شده و می تواند به صورت زیر محاسبه شود:

(6)

یک عبارت دیگر مرتبط با تعریف توان ارتباط بین توان اکتیو و توان ظاهری است که به عنوان ضریب قدرت PF سیستم شناخته شده و شاخصی از بازده بهره برداری سیستم را نشان می دهد:

(7)

با تحلیل معادلات (1) تا (7) ویژگی های مهم مرتبط با توان راکتیو می تواند به صورت زیر خلاصه شود (Svensson,  1999; Filipski,  &  Labaj,  1992): الف) Q می تواند به عنوان تابعی از

تعریف شود. ب) Q یک عدد حقیقی است. ج) برای یک باس داده شده جمع جبری تمام توان های راکتیو صفر است. د) Q یک جزء دوطرفه از توان لحظه ای p_((t))، ه) Q=0 به معنی ضریب قدرت برابر با یک است. و) Q می تواند به وسیله ی تجهیزات القا کننده یا خازنی جبران شود. ز) جمع برداری P و Q توان ظاهری S است. ح) افت ولتاژ در خطوط انتقال بیشتر توسط توان راکتیو Q تولید می شود.

این خاصیت ها فقط به سیگنال های سینوسی خالص اعمال می شوند. بنابراین در مورد شرایط غیر سینوسی تمامی این خاصیت ها ارضاء نمی شوند. بخش بعدی تعاریف توان متفاوتی را که برای این هدف پیشنهاد شده اند ارائه می کند و بحث می کند که در چه شرایطی به خاصیت های فوق می رسند.

• تعاریف توان الکتریکی تحت شرایط غیر سینوسی

برای نشان دادن شرایط غیر سینوسیُ بیایید سیگنال های ولتاژ و جریان را با اجزای هارمونیکی در نظر بگیریم. پس توان ظاهری می تواند به صورت زیر معادله زیر بیان شود:

(8)

برای سادگی، حالتی را در نظر بگیرید که سیگنال های هارمونیکی با جز اصلی سیگنال ولتاژ و سیگنال جریان بیان شده اند، پس:

(9)

طبق تعریف، توان اکتیو به صورت زیر است:

(10)

و توان راکتیو Q به صورت زیر است:

(11)

با بررسی معادلات (9) تا (11) و مقایسه ی آن ها با معادله ی (6) می توان نتیجه گرفت که اگر سیگنال ها اجزایی علاوه بر هارمونیک اصلی سینوسی داشته باشند عبارت زیر به دست می آید:

(12)

از نامساوی ارائه شده در معادله ی (12) مشاهده می شود که مجموع توان دوم عبارات P و Q فقط عبارت اول معادله ی (9) به دست می آید و بنابراین خاصیت g) قابل نتیجه گیری نیست. بنابراین تعاریف توان ظاهری و راکتیو مورد استفاده در شرایط سینوسی ممکن است نتایج اشتباهی را تولید کنند. از این رو تعاریف جدیدی برای شرایط غیر سینوسی مورد نیاز است. پیشنهاد هایی برای توسعه دادن فرمولاسیون توان راکتیو و ظاهری برای شرایط غیر سینوسی ارائه شده است که پرکاربردترین آن ها در ادامه توضیح داده شده است.

• توان راکتیو و تعاریف اعوجاج توان

یکی از اولین تعاریف توان که شامل وجود هارمونیک ها می شد توسط Budenau (Budeneau، 1927 همان گونه که در Yildirim & Fuchs 1999 تصریح شده است) در سال 1927 ارائه شد که در آن توان اکتیو و راکتیو توسط معادلات زیر بیان می شدند:

(13)
(14)

که در آن h شماره ی هارمونیک است. بیان کردن توان اکتیو و راکتیو توسط معادله ی (13) و معادله ی (14) با مثلث توان منطبق نخواهد بود. بنابراین Budenau عبارت جدیدی را برای اعوجاج توان ارائه کرد:

(15)

بر اساس اعوجاج توان یک توان خیالی یا مکمل نیز تعریف می شود:

(16)

معنی فیزیکی معادله ی (16) نوسان توان بین منبع و مصرف کننده است. هرچند که این موضوع فقط زمانی صادق است که تمامی اجزا کاملا خطی و راکتیو باشند. (مثلا خازن ها و القاگر ها) که در نتیجه معادله ی (16) نمی تواند برای طراحی جبران گر راکتیو مورد استفاده قرار گیرد.

بر اساس این تعریف اولیه از اعوجاج توان نویسندگان بسیار مختلفی تعاریف مختلفی از D به عنوان تابعی از مقدار موثر سیگنال جریان و ولتاژ و اختلاف فاز آن ها ارائه کرده اند. منبع (Emanuel, 1990) تعریف زیر را ارائه داد:

(17)

که در آن V_m، I_m، V_n و I_n مقدار موثر اجزای هارمونیکی هستند. زوایای هارمونیکی عبارتند از φ_m=α_m-β_m، φ_n=α_n-β_n با اختلاف فاز α_m، α_n، β_m و β_n بین اجزای هارمونیکی جریان.

تعریف دیگری توسط منبع  (Filipski, 1984) ارائه گردید:

(18)

بعد از آن Czarnecki فرمول زیر را برای D توصیه کرد:

(19)

تعاریف مشابهی مانند معادله ی (18) توسط استاندارد 100-1996 IEEE پیشنهاد شد. (موسسه ی مهندسی برق و الکترونیک 1996). اخیرا نویسندگان مختلفی آن ها را با یکدیگر مقایسه کرده و در مورد مزایای هر کدام و قابلیت به کارگیری آن ها بحث کرده اند. Yildirim و Fuchs معادله ی (17) و (19) را مقایسه کرده و اندازه گیری های عملی را با استفده از انواع مختلف اعوجاج ولتاژ و جریان فراهم آورده اند که تعریف اعوجاج زیر را پیشنهاد می دهد:

(20)

مهم ترین نتیجه از مطالعات آن ها این است که معادله ی (17) تفاوت مهمی را با نتایج عملی نشان می دهد. نتایج محاسبه شده با استفاده از معادلات (18) تا (20) منطبق و متناظر با نتایج عملی است. معادلات (18) و (19) تمام عباراتی که متغیرها را با درجه ی هارمونیک یکسان ضرب می کند دارند در حالی که در معادله ی (20) تمامی عبارات متغیرها با درجه ی هارمونیک مختلف در هم ضرب می شوند.

• تعریف توان راکتیو پیشنهاد داده شده توسط Fryze

تعریف توان راکتیو پیشنهاد داده شده توسط Fryze بر اساس تقسیم جریان به دو عبارت است؛ عبارت جریان اکتیو وعبارت جریان راکتیو (Fryze در سال 1932، همان گونه که در Svensson 1999 تصریح شده است:

(21)

با در نظر گرفتن اینکه این عبارات بر یکدیگر عمود هستند، خاصیت زیر استخراج می گردد:

(22)

i_a می تواند از توان اکتیو محاسبه شود:

(23)

پس، از معادله ی (21) توان راکتیو  به صورت زیر به دست می آید:

(24)

بر اساس این تعاریف و در نظر گرفتن معادله ی (16)، ارائه ی توان راکتیو پیشنهاد شده توسط Fryze به صورت زیر است:

(25)

معادله ی (25) نشان می دهد که Q_F تابعی از S و P است. بنابراین مزیت این ارائه در این ست که نیازی به اندازه گیری توان راکتیو نیست. هرچند که Q_F همیشه دامنه ی مثبت دارد پس خاصیت b) قابل انطباق نیست. بنابراین از آن نمی توان در تحلیل های شارش توان استفاده کرد. از طرف دیگر از آن جایی که همواره مثبت است، می توان آن را با تزریق جریان منفی – i_r جبران کرد که آن را برای طراحی فیلتر اکتیو مناسب می سازد.

• تعریف توان راکتیو پیشنهاد داده شده توسط Emanuel

Emanuel مشاهده کرد که در بیشتر موارد سهم اصلی توان راکتیو باتوجه به جزء اصلی سیگنال ولتاژ است بنابراین او تعریف زیر را برای عبارت توان راکتیو ارائه کرد. (Emanuel, 1990):

(26)

بر اساس این تعریف، یک عبارت جدید به نام توان مکمل می تواند به صورت زیر فرموله شود:

(27)

در نهایت، هر دو عبارت اکتیو و راکتیو می تواند با دو عبارت بیان شود. جزء اصلی و جزء هارمونیکی:

(28)

که در آن Q_F توان راکتیو تعریف شده توسط Fryze است.
با بیان Q_F به عنوان تابعی از عبارات اصلی و هارمونیکی:

(29)

و جایگذاری معادله ی (29) در معادله ی (28) توان ظاهری به صورت زیر است:

(30)

از آن جایی که Q_F با جمع کردن دو عبارت مختلف تعریف شده است، توان راکتیو اصلی Q_1 و توان راکتیو هارمونیکی Q_H، این تعاریف به یک ابزار موثر در طراحی کنترل فیلتر های اکتیو و مانیتورینگ و جبران گر اختلاف فاز ضریب قدرت تبدیل شده اند.

• تعریف پیشنهاد شده توسط Czarnecki

بر اساس تعریف قبلی، Czarnecki تعاریف جدیدی را بر اساس تجزیه ی متعامد جریان که اجازه می دهد پدیده های مختلفی که منجر به کاهش بازدهی انتقال انرژی الکتریکی می شوند شناسایی شوند پیشنهاد داد. (Czarnecki, 1993)

جریان کل به عبارات اکتیو، راکتیو، هارمونیک و پراکندگی تجزیه می شود:

(31)

سه عبارت آخر مسئول کاهش بازدهی انتقال هستند که عبارت راکتیو توسط معادله ی زیر داده می شود:

(32)

اندیس K جزء هارمونیکی است که در عبارت ولتاژ N وجود ندارد. عبارت هارمونیکی به صورت زیر محاسبه می شود:

(33)

و جریان پراکندگی می تواند به صورت زیر بیان شود:

(34)

که در آن کنداکتانس بار معادل به صورت زیر است:

(35)

و جزء هارمونیکی درجه ی nام بار به صورت زیر است:

(36)

با استفاده از این تجزیه، توان ظاهری می تواند به صورت زیر بیان شود:

(37)

که توان راکتیو، توان اعوجاجی و توان هارمونیکی به ترتیب عبارتند از:

(38)
(39)
(40)

یکی از ویژگی های اصلی این تعریف این است که به جای ولتاژ ها، جریان ها و توان ها مبتنی بر سوسپتانس ها است. برای سیستم هایی که محتوی جریان با مقادیر هارمونیک بالا و ولتاژ با مقادیر هارمونیک کم هستند عدم قطعیت مسئله ی اختلاف فاز و در نتیجه ی آن پارامتر عدم قطعیت B_N ارائه خواهد شد. این مسئله ممکن است منجر به ایجاد خطاهایی در تعیین جریان راکتیو گردد.

• تعریف پیشنهاد داده شده توسط استاندارد IEEE 1459-2000

این استاندارد تجزیه ی هر دو سیگنال جریان و ولتاژ را به عبارات اصلی و هارمونیکی پیشنهاد می دهد. (موسسه ی مهندسی برق و الکترونیک، 2000)

(41)
(42)

که در آن اجزای هارمونیکی V_H و I_H شامل تمامی اجزای عبارات هارمونیکی و جریان مستقیم می شوند:

(43)
(44)

بر اساس این عبارات، توان اکتیو می تواند به صورت مجموع اجزای هارمونیکی و اصلی نوشته شود:

(45)

که اجزای اصلی و هارمونیکی به ترتیب عبارتند از:

(46)
(47)

به طور مشابه توان راکتیو می تواند به صورت زیر بیان شود:

(48)

که اجزای هارمونیکی اصلی عبارتند از:

(49)
(50)

با در نظر گرفتن این موضوع که مربع توان ظاهری می تواند به صورت تابعی از عبارات ولتاژ و جریان ارائه شود:

(51)

و بیان کردن توان ظاهری S به صورت مجموع عبارات اصلی و غیر اصلی:

(52)

این امکان وجود دارد که با مقایسه ی معادله ی (51) با معادله ی (52) به این نتیجه رسید که عبارت اول مربع توان ظاهری که تابعی از اجزای اصلی است می تواند به صورت تابعی از اجزای اصلی اکتیو و راکتیو ارائه شود. این عبارات به صورت زیر هستند:

(53)

و عبارت S_N توسط سایر عبارات معادله ی (51) تشکیل شده است:

(54)

که توان اعوجاجی با توجه به هارمونیک جریان عبارت است از:

(55)

و با توجه به هارمونیک ولتاژ:

(56)

در نهایت عبارت آخر به عنوان توان ظاهری هارمونیکی شناخته شده است:

(57)

با تعریف ارتباط بین اجزای جریان هارمونیکی و جریان اصلی به عنوان اعوجاج جریان هارمونیکی کل I_H/I_1=THDi و به طور مشابه برای ولتاژ 〖V_H/V〗_1=THDv آن گاه معادلات می توانند به صورت تابعی از اعوجاج بیان شوند:

(58)
(59)
(60)

در نهایت توان ظاهری می تواند به توان اکتیو P و توان غیر اکتیو N تجزیه شود:

(61)

از آن جایی که عبارت توان هارمونیکی تنها چیزی است که می تواند اجزای اکتیو داشته باشد، می تواند به صورت زیر فرموله شود:

(62)

از تمامی این معادلات، چندین نتیجه ی با اهمیت به دست می آید: (P_1+P_H) توان اکتیو است، توان هارمونیک S_H دارای (n-1) عبارت به عنوان تابعی از V_h*I_h*cos⁡〖φ_h 〗 است. این عبارات می توانند مقادیر زیر را داشته باشند: Null، اگر V_h یا I_h تهی (null) باشند یا اختلاف فاز 90° باشد. مثبت، اگر V_h و I_h تهی نباشند و اختلاف فاز در نامعادله ی -90°<φ_h<90° صدق کند. منفی، اگر V_h و I_h تهی نباشند و اختلاف فاز در نامعادله ی 90°<φ_h<270° صدق کند. برخی از اجزای هارمونیکی می توانند توان تولید کنند و برخی دیگر می توانند توان مصرف کنند و در کل P_H منفی است. رابطه ی S_N⁄S_1 یک شاخص خوب برای اعوجاح هارمونیکی است. نامعادله ی زیر همواره برقرار است:

(63)

ضریب قدرت با توجه به اجزای اصلی که هم چنین با نام ضریب قدرت شیفت یافته شناخته می شود عبارت است از:

(64)

ضریب قدرت کلی توسط عبارت زیر داده شده است:

(65)

به طور خلاصه بحث درباره ی تعاریف مختلف روی این موضوع تمرکز کرده است که کدام خاصیت قابل انطباق است و کدام خاصیت قابلیت انطباق ندارد. (Filipski & Labaj, 1992) به هر حال، هم چنین مهم است که معنی عبارات مختلف را درک کرده و شاخص صحیحی را برای کاربرد مشخصی از قبیل جبران گری، کنترل ولتاژ، شناسایی منبع اغتشاشات هارمونیکی یا ارزیابی تلفات توان انتخاب کرد. (Balci & Hocaoglu 2004) تحلیل یکسانی می تواند برای سیستم های چند فاز توسعه یابد. تعریف توان ظاهری برای سیستم های سه فاز در ادامه توضیح داده شده است.

3. تعریف توان الکتریکی برای سیستم های سه فاز

مشابه سیستم های تک فاز، تعریف توان ظاهری برای سیستم های سه فاز تحت شرایط غیر سینوسی معنی فیزیکی خاصی ندارد. بنابراین ممکن است منجر به قضاوت و تفسیر نادرست شود. اندازه گیری، تحلیل و تعریف عبارات مختلف سیگنال توان سه فاز در حالی که ولتاژ ها و جریان ها نامتعادل و دارای اعوجاج هستند به منظور استاندارد کردن شاخص های صحیح که سطح هارمونیک و اعوجاج را به یک کمیت تبدیل می کنند مورد مطالعه قرار گرفته است. (Emanuel,  1999,  2004) یک تفسیر نادرست یا انددازه گیری خطای نادرست ممکن است منجر به عملکرد اشتباه سیستم و در نتیجه ی آن تاثیر بزرگ اقتصادی شود.

شاخص های نرمال از قبیل توان ظاهری و ولتاژ نامی که برای انتخاب تجهیزات (مانند ترانسفورماتور ها یا ماشین ها) بسیار مهم هستند برای سیگنال های سینوسی، متقارن و متعادل تنظیم شده اند. علاوه براین آن ها برای طراحی سناریو های تعرفه استفاده شده اند. شاخص ضریب قدرت بازدهی بهره برداری انرژی را نشان می دهد. (Catallioti et al., 2008, 2009a) در نتیجه، امروزه داشتن تعریف دقیق و جامع از توان ظاهری، راکتیو و ضریب قدرت در شرایط غیر سینوسی برای سیستم های سه فاز حیاتی گشته است. در بخش بعدی پرکاربرد ترین تعاریف توضیح داده شده اند.

• تعریف توان ظاهری برای سیستم های سه فاز

تعاریف مختلفی با توجه به محاسبات توان ظاهری برای سیستم های سه فاز نامتعادل وجود دارند. در این بخش مهم ترین آن ها مرور شده اند. ( Pajic & Emanuel,2008; Eguiluz  &  Arrillaga,  1995;  Deustcher  Industrie  Normen  [DIN],  2002;  Institute  of Electrical and Electronic Engineering [IEEE], 2000)

بر اساس تعریف تک فاز در سیستم های چند فاز بردار توان ظاهری به صورت زیر است:

(66)

توان ظاهری محاسبه شده می تواند ب صورت مجموع تمام توان های ظاهری هر فاز نوشته شود:

(67)

برای فاز k، P_k توان اکتیو و Q_bk و D_k به ترتیب توان راکتیو و اعوجاجی تعریف شده توسط Budeanu هستند. تعاریف توضیح داده شده در معادلات (66) و (67) یکسان هستند و برای بار متعادل و سیگنال های ولتاژ و جریان سینوسی نتایج صحیح تولید می کنند. اگرچه برای سیگنال های دارای اعوجاج و/یا نامتعادل در حالت کلی می توان اثبات کرد که:

(68)

به علاوه، شاخص ضریب قدرت با توجه به این که از کدام تعریف استفاده شود نتایج متفاوتی تولید خواهد کرد:

(69)

که در آن FP_V و FP_A به ترتیب ضریب قدرت با استفاده از بردار توان ظاهری و تعریف محاسباتی هستند.
معادله زیر برای محاسبه ی توان ظاهری در (Goodhue, 1933 cited in Depenbrock, 1992; Emanuel, 1998) پیشنهاد شده است:

(70)

از نظر مفهومی، معادله ی (70) بیان می دارد که برای یک سیستم سه فاز داده شده می توان یک توان ظاهری معادل تعریف کرد که به عنوان توان ظاهری موثر شناخته می شود و به صورت زیر تعریف می شود:

(71)

که در آن V_e و I_e به ترتیب مقدار موثر r.m.s ولتاژ و جریان هستند.

اخیرا، نویسندگان مختلف روش های مختلفی ریاضی را بر اساس معادله ی (71) ارائه داده اند. مهم ترین آن ها روش هایی هستند که توسط استاندارد  DIN40110-2  (DeustcherIndustrie  Normen  [DIN],  2002) توضیح داده شده است و دیگری که توسط کارگروه (Institute  of  Electrical  and  Electronic  Engineering  [IEEE],  1996) IEEE توسعه داده شده است که منشاء استاندارد IEEE  Standard  1459-2000 است. (Institute  of  Electrical and  Electronic  Engineering  [IEEE],  2000)

این دو روش فرمول بندی در ادامه توضیح داده شده اند.

• تعریف توضیح داده شده در استاندارد DIN40110-2

روش معروف به FBD (که از نویسندگان اصلی آن، Fryze، Buchholz و Depenbrock برگرفته شده است) بر اسا سمعادله (71) توسعه پیدا کردده است. (Depenbrok, 1992, 1998; Deustcher Industrie Normen [DIN], 2002. این روش مقادیر موثر جریان و و لتاژ را بر اساس سیستم معادل که مصرف توان یکسان با سیستم اصلی دارد، تعریف می کند.

سپس، جریان موثر می تواند با استفاده از عبارت زیر محاسبه شود:

(72)

که در آن i_r، i_s، i_t جریان های خط و i_n جریان نوترال هستند.

به طور مشابه ولتاژ موثر عبارت است از:

(73)

این روش تجزیه ی ولتاژ و جریان به اجزای اکتیو و غیر اکتیو را امکان پذیر می سازد. علاوه بر این، این روش امکان تشخیص دادن هر جز غیر اکتیو از کل را فراهم می سازد که این روش را به روش مناسبی برای مطالعات جبران گر ها تبدیل می کند.